Projection (linéaire) des individus
Pour un point $x_i$ et un vecteur $m_j$ unitaire (i.e. $\|m_j\| = 1$)
la projection de $x_i$ sur $m_j$ est définie par
$$\hat x_i = (m_j \cdot x_i) m_j$$
On peut généraliser à un ensemble à une base ($m_j \cdot m_k = 0$ si $j\not=k$)
$$\hat x_i = \sum_j (m_j \cdot x_i) m_j$$
Forme matricielle
Avec $M = (m_1 \cdots m_d)$, la projection de $x_i$ sur l'espace vectoriel engendré par $m_1, \ldots, m_d$ est :
$$ \hat x_i
= M {\color{blue} M^\top x_{i}}
= \left( m_1 \cdots m_d \right) {\color{blue} \left( \begin{array}{c} m_1 \cdot x_i \\ \vdots \\ m_d \cdot x_i \end{array} \right)}
$$
La représentation $\color{blue} \tilde x_i$ de $x_i$ dans le sous-espace vectoriel est donnée par
$$ \color{blue} \tilde x_i = M^\top x_i$$